算學啟蒙總括

作者: 朱世杰

  朱世杰字漢卿,號松庭.北京附近人.生卒年不詳,生活于13—14世紀.數學.

  關于朱世杰的生平,流傳下來的資料甚少,僅能從趙城、莫若、祖頤等人為他的著作《算學啟蒙》和《四元玉

  鑒》所寫的序言中找到一些線索.這些序言均稱“燕山松庭朱君”、“燕山朱漢卿先生”.在《四元玉鑒》每卷之首也均署名為“寓燕松庭朱世杰漢卿編述”,可見他的籍貫當在現在的北京或其附近.莫若序中有“燕山松庭朱先生以數學名家周游湖海二十余年矣.四方之來學者日眾,先生遂發明《九章》之妙,以淑后學,為書三卷……名曰《四元玉鑒》”,祖頤后序中亦有“漢卿,名世杰,松庭其自號也.周流四方,復游廣陵,踵門而學者云集…….

  ”這兩篇序均寫于元大德七年(1303),以莫若序中所說的“以數學名家周游湖海二十余年矣”來推算,朱世杰從事數學教學和數學研究的年代當在13世紀末和14世紀初.

  1234年蒙古聯宋滅金之后,又經過40余年,至1276年才攻占了南宋的都城臨安,1279年南宋滅亡.

  朱世杰的青少年時代,大約相當于蒙古滅金之后.但早在滅金之前,蒙古軍隊便已攻占了金的中都(今北京,

  是1215年攻占的).元世祖忽必烈繼位之后,為便于對中原地區的攻略,便遷都于此地,改稱燕京,后又改稱為大

  都.到13世紀60年代,燕京不只是重要的政治中心,同時也是重要的文化中心.

  忽必烈為了鞏固元朝的統治,網羅了一大批漢族的知識分子作為智囊團.其中有以編制《授時歷》聞名的王恂

  (1235-1281)、郭守敬(1231—1316)以及編制歷法的倡導者和主持者劉秉忠(1216—1274)、張文謙(1216—1283)、

  許衡(1209—1281)等人.這個集團中的人物,對數學和歷法都很精通.他們未入朝之前,曾隱居于河北南部的武安紫金山中.受到忽必烈禮聘的,還有李治(1192—1279),他也是一位著名的數學家.

  就當時的數學發展情況而論,在13世紀中葉,在河北南部和山西南部地區,出現了一個以“天元術”(一種帶

  有中國古代數學特點的代數學)為代表的數學研究中心.按祖頤在“《四元玉鑒》后序”中敘述天元術發展情況時

  所說:“平陽(今山西臨汾)蔣周撰《益古》,博陸(今河北蠡縣)李文一撰《照膽》,鹿泉(今河北獲鹿)石信道撰《鈐經》,平水(今山西新絳)劉汝諧撰《如積釋鎖》,絳人(今山西新絳)元裕細草之,后人始知有天元也.平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》兼有地元,霍山(今山西臨汾)邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》末僅有人元二問吾友燕山朱漢卿先生演數有年,探三才之賾,索《九章》之隱,按天地人物成立四元…….”這段序文敘述出朱世杰學術上的師承關系.毫無疑問,他較好地繼承了當時北方數學的主要成就.當時的北方,正處于天元術逐漸發

  展成為二元、三元術的重要時期,正是朱世杰把這一成就拓展為四元術的.

  朱世杰除繼承和發展了北方的數學成就之外,還吸收了當時南方的數學成就——各種日用、商用數學和口訣、

  歌訣等.本來,在元滅南宋之前,南北之間的數學交流是比較少的.朱世杰“周流四方,復游廣陵(今揚州)”應是在1276年元軍對南宋的大規模軍事行動結束之后.朱世杰在經過長期游學、講學之后,終于在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部數學著作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》.隋唐以來,中原地區經濟中心和文化中心逐漸南移.長江中下游一帶,五代十國時期就比較穩定,北宋時期也

  有較大發展.隨著金兵入侵和宋王朝的南遷,江南地區的農業、手工業、商業和城市建設等都有較大發展.在這樣的社會條件下,中國數學中自晚唐以來不斷發展的簡化籌算的趨勢有了進一步的發展,日用數學和商用數學更加普及.南宋時楊輝的著作可以作為這一傾向的代表,而朱世杰所著的《算學啟蒙》,則是這一傾向的繼承和發展.

  當然,以所取得的成就而論,《四元玉鑒》是遠超《算學啟蒙》的.清代羅士琳在評論朱世杰的數學成就時說

 。骸皾h卿在宋元間,與秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可稱鼎足而三.道古正負開方,仁卿天元如積,皆足上下千古,漢卿又兼包眾有,充類盡量,神而明之,尤超越乎秦李之上”(羅士琳編《疇人傳·續編·朱世杰條》).清代另一位數學家王鑒也說:“朱松庭先生兼秦李之所長,成一家之著作”(王鑒《算學啟蒙述義·自序》).此外,朱世杰還繼承發展了日用、商用數學.由此可見,朱世杰可以被看作是中國宋元時期數學發展的總結性人物,是宋元數學的代表,是中國以籌算為主要計算工具的古代數學發展的預峰.

  朱世杰的數學著作,如前所述,有《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二種,下面略加評介.

  1.《算學啟蒙》

  《算學啟蒙》全書共3卷、分為20門,收入了259個數學問題.全書由淺入深,從整數的四則運算直至開高次方

  、天元術等,包括了當時已有的數學各方面內容,形成了一個較完備的體系,可用作教材,它確實是一部較好的啟蒙數學書.

  在全書之首,朱世杰首先給出了18條常用的數學歌訣和各種常用的數學常數.其中包括:乘法九九歌訣、除法

  九歸歌訣(與后來的珠算歸除口訣完全相同)、斤兩化零歌訣(“一退六二五”之類)、籌算記數法則、大小數名稱、度量衡換算、面積單位、正負數的四則運算法則、開方法等等.值得指出的是,朱世杰在這里,也是在中國數學史上首次記述了正負數的乘除運算法則.朱世杰把上述這些歌訣和數學常數等,作為“總括”而列在全書之首,這種寫作的方式,在中國古算書中并不多見.

  《算學啟蒙》正文分上、中、下三卷.

  卷上:共分為8門,收有數學問題113個,其內容為:乘數為一位數的乘法、乘數首位數為一的乘法、多位數乘

  法、首位除數為一的除法、多位除數的除法、各種比例問題(包括計算利息、稅收等等).

  其中“庫司解稅門”第7問題記有“今有稅務法則三十貫納稅一貫”,同門第10、11兩問中均載有“兩務稅”

  等,都是當時實際施行的稅制.朱世杰在書中的自注中也常寫有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等,可見書中的各種數據大都來自當時的社會實際.因此,書中提到的物價(包括地價)、水稻單位面積產量等,對了解元代社會的經濟情況也是有用的.

  卷中:共7門,71問.內容有各種田畝面積、倉窖容積、工程土方、復雜的比例計算等等.

  卷下:共5門,75問.內容包括各種分數計算、垛和問題、盈不足算法、一次方程解法、天元術等等.

  這樣,《算學啟蒙》全書從簡單的四則運算入手,一直講述到當時數學的重要成就——天元術(高次方程的數值解法),為閱讀《四元玉鑒》作了必要的準備,給出了各種預備知識.清代羅士琳說《算學啟蒙》“似淺實深”,又說《算學啟蒙》、《四元玉鑒》二書“相為表里”,這些話都是不錯的.

  《算學啟蒙》出版后不久即流傳至朝鮮和日本.在朝鮮的李朝時期,《算學啟蒙》和《詳明算法》、《楊輝算法》一道被作為李朝選仕(算官)的基本書籍.在日本收藏有一部首尾殘缺、未注明年代的《算學啟蒙》,與此書一起,同時也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年,1433)朝鮮慶州府刻版的《楊輝算法》.從版刻形式等方面來辨識,兩部書是相同的,從而有人推斷這部《算學啟蒙》也是1433年朝鮮慶州府刻本.這可能要算是當今世界上最早的傳世刻本.在《李朝實錄》中也記有世宗本人曾向當時的副提學鄭麟趾學習《算學啟蒙》的史料.《算學啟蒙》傳入日本的時間也已不可考,是久田玄哲在京都的一個寺院中發現了這部書,之后他的學生土師

  道云進行了翻刻(日本萬治元年,1658,京都).寬文12年(1672)又在江戶(今東京)出版了星野實宣注解的《新編算學啟蒙注解》3卷,元祿三年(1690)還出版了著名的和算家建部賢弘注釋的《算學啟蒙諺解大成》7卷.《算學啟蒙》對日本和算的發展有較大的影響.

  《算學啟蒙》一書在朝鮮和日本雖屢有翻刻,但明末以來,在中國國內卻失傳了.清末道光年間羅士琳重新翻刻《四元玉鑒》時,《算學啟蒙》尚無著落.后來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”,請人在北京找到順治十七

  年(1660)朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本,1839年在揚州重新刊印出版.這個本子,后來成為中國現存各種版本的母本.清代對《算學啟蒙》進行注釋的有王鑒所著《算學啟蒙述義》(1884)和徐鳳誥所著《算學啟蒙通釋》(1887).

  2.《四元玉鑒》

  與《算學啟蒙》相比,《四元玉鑒》則可以說是朱世杰闡述自己多年研究成果的一部力著.全書共分3卷,24

  門,288問.書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關,其中四元的問題(需設立四個未知數者)有7問(“四象朝元”6問,“假令四草”1問);三元者13問(“三才變通”11問,“或問歌彖”和“假令四草”各1問);二元者36問(“兩儀合轍”12問,“左右逢元”21問,“或問歌彖”2問,“假令四草”1問);一元者232問(其余各問皆為一元).可見,四元術——多元高次方程組的解法是《四元玉鑒》的主要內容,也是全書的主要成就.

  《四元玉鑒》中的另一項突出的成就是關于高階等差級數的求和問題.在此基礎上,朱世杰還進一步解決了高

  次差的招差法問題.

  四元玉鑒》一書的流傳和《算學啟蒙》一樣,也曾幾經波折.這部1303年初版的著作,在15和16兩個世紀都

  還可以找到它流傳的線索.吳敬所著《九章算法比類大全》(1450)中的一些算題,和《四元玉鑒》中的算題完全相同或部分相同.顧應祥在其所著《孤矢算術》序言(1552)中寫道:“孤矢一術,古今算法載者絕少,……《四元玉鑒》所載數條!敝苁鰧W所著《神道大編歷宗算會》卷三之首曾引用了《四元玉鑒》書首的各種圖式,書中有些算題也與《四元玉鑒》相同,卷十四作為“算會圣賢”列有“松庭《四元玉鑒》”.可見顧周二人都曾讀到過《四元玉鑒》.清初黃虞稷(1618—1683)《千頃堂書目》記有“《四元玉鑒》二卷”,卷數不符.梅瑴成《赤水遺珍》(1761)中曾引用過《四元玉鑒》中的兩個題目,可見清初時此書尚未失傳.

  乾隆三十七年(1772)開《四庫全書》館時,雖然挖掘出不少古代數學典籍,但朱世杰的著作并未被收入.阮元

  、李銳等人編纂《疇人傳》時(1799)也尚未發現《四元玉鑒》.但不久之后阮元即在浙江訪得此書,呈入《四庫全書》,并把抄本交李銳校算(未校完),后由何元錫按此抄本刻。@是1303年《四元玉鑒》初版以來的第一個重刻本.《四元玉鑒》被重新“發現”之后,引起了當時許多學者的注意,如李銳(1768-1817)、沈欽裴(1829年寫有《四元玉鑒》序)、徐有壬(1800—1860)、羅士琳(1789—1853)、戴煦(1805-1860)等人,都進行過研究.其中,以沈欽裴和羅士琳二人的工作最為突出.

  1839年羅士琳經多年研究之后,出版了他所著的《四元玉鑒細草》一書,影響廣泛.羅氏對《四元玉鑒》進行

  了校改并對書中每一問題都作了細草.但是他對此書關鍵問題(四元消法和級數求和)的理解,尚有需進一步研究者.與羅士琳同時,沈欽裴也對《四元玉鑒》作了精心的研究,每題也作了細草,經對比,沈氏《細草》比羅氏《細草》要更符合朱世杰原意.沈氏《細草》僅有兩種抄本傳世(其中一種是全本),現均收藏于北京圖書館.

  清代數學家李善蘭曾著有《四元解》(1845),但此書是作者以己意解四元方程組,對了解朱世杰原意幫助不大

 。浜箨愄闹端脑ê喴撞荨(1899),卷末附有“假令四草”的“補正草”,對理解朱世杰四元術是有幫助的.日本數學史家三上義夫在其所著《中國及日本數學之發展》(ThedevelopmentofmathematicsinChinaandJapan,1913)一書中將《四元玉鑒》介紹至國外.其后康南茲(E.L.Konantz)和赫師慎(L.VanHeé分別把《四元玉鑒》中的“假令四草”譯為英法兩種文字.1977年華裔新西蘭人謝元祚(J.Hoe)將《四元玉鑒》全文譯成法文,并寫了關于《四元玉鑒》的論文.

  朱世杰的數學成就可簡述如下:

  1.四元術

  四元術是在天元術基礎上逐漸發展而成的.天元術是一元高次方程列方程的方法.天元術開頭處總要有“立天

  元一為××”之類的話,這相當于現代初等代數學中的“設未知數x為××”.四元術是多元高次方程列方程和解

  方程的方法,未知數最多時可至四個.四元術開頭處總要有“立天元一為××,地元一為○○,入元一為△△,物元一為**”,即相當于現代的“設x,y,z,為××,○○,△△,**”.天元術是用一個豎列的籌式依次表示未知數(x)的各次冪的系數的,而四元術則是天元術的推廣.按莫若為《四元玉鑒》所寫的序言所記述,四元式則是“其法以元氣居中,立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上,陰陽升降,進退左右,互通變化,錯綜無窮”,此即在中間擺入常數項(元氣居中),常數項下依次列入x各次冪的系數。左邊列y,y2,y3,…各項系數,右邊為z,z2,z3,…各項系數,上邊為u,u2,u3,…各項系數,而把xy,yz,zu,…,x2y,y2z,z2u,…各項系數依次置入相應位置中(如圖1).例如:x+y+z+u=0,即可以下列籌式表示(如圖2).而(x y z u)2=A,即可以圖3所示之籌式表示之,即將(x+y Z+u)2=x2 y2+z2+u2+2xy+2xz 2xu 2yz 2yu 2zu中的2xy,2yz…等記入相應的格子中,而將不相鄰的兩個未知數的乘積如2xu,2yz的系數記入夾縫處,以示區

  別.圖3即是《四元玉鑒》書首給出的“四元自乘演段之圖”(為了方便,我們用現代通用的阿拉伯數碼代替了原圖中的算籌).如此記寫的四元式,既可表示一個多項式,也可以表示一個方程.

  四元式的四則運算如下進行.

  (1)加、減:使兩個四元式的常數項對準常數項,之后再將相應位置上的兩個系數相加、減即可.

  (2)乘:

  1)以未知數的整次冪乘另一四元式,如以刀,x,x2,x3,…乘四元式,則等于以該項系數乘整個四元式各項

  再將整個四元式下降,以x乘則下降一格,x2乘則下降二格.以y的各次冪乘則向左移,以z乘則右移,以u乘則上升.

  2)二個四元式相乘:以甲式中每項乘乙式各項,再將乘得之各式相加.

  (3)除(僅限于用未知數的整次冪來除):等于以該項系數除四元式各項系數之后,整個四元式再上、下、左、

  右移動.

  上述四則運算也就是莫若《四元玉鑒》序言中所說的“陰陽升降,進退左右,互通變化,錯綜無窮”.在當時

  中國數學尚缺少數學符號的情況下,朱世杰利用中國古代的算籌能夠進行如此復雜的運算,實屬難能可貴.

  朱世杰四元術精彩之處還在于消去法,即將多元高次方程組依次消元,最后只余下一個未知數,從而解決了整

  個方程組的求解問題.其步驟可簡述如下:

  1)二元二行式的消法例如“假令四草”中“三才運元”一問,最后得出如下圖的兩個二元二行式,這相當于求解或將其寫成更一般的形式其中A0,B1和A1,B0分別等于算籌圖式中的“內二行”和“外二行”,都是只含z而不含x的多項式.朱世杰解決這些二元二行式的消去法即是“內二行相乘、外二行相乘,相消”.也就是F(z)=A0B1-A1B0=0.

  此時F(z)只含z,不含其他未知數.解之,即可得出z之值,代入上式任何一式中,再解一次只含x的方程即可

  求出x.

  2)二元多行式的消法不論行數多少,例如3行,則可歸結為以A2乘(2)式中B2x2以外各項,再以B2乘(1)式中A2x2以外各項,相消得C1x C0=0.(3)以x乘(3)式各項再與(1)或(2)聯立,消去x2項,可得D1x D0=0.

  (4)(3),(4)兩式已是二元二行式,依前所述即可求解.

  3)三元式和四元式消法

  如在三元方程組中(如下列二式)欲消去y:

  式中諸Ai,Bi均只含x,z不含y.(5),(6)式稍作變化即有以A0,B0與二式括號中多項式交互相乘,相消得

  C1y+C0=0.(9)(9)式再與(7),(8)式中任何一式聯立,相消之后可得D1y+D0=0.(10)

  (9),(10)聯立再消去y,最后得E=0,(11)

  E中即只含x,z.再另取一組三元式,依法相消得F=0.(12)(11),(12)只含兩個未知數,可依前法聯立,再消去一個未知數,即可得出一個只含一個未知數的方程,消去

  法步驟即告完成.

  以上乃是利用現代數學符號化簡之后進行介紹的,實際上整個運算步驟都是用中國古代所特有的計算工具算籌

  列成籌式進行的,雖然繁復,但條理明晰,步驟井然.它不但是中國古代籌算代數學的最高成就,而且在全世界,在13—14世紀之際,也是最高的成就.顯而易見,在一個平面上擺列籌式,未知數不能超過四元,這也是朱世杰四元術的局限所在.在歐洲,直到18世紀,繼法國的E.貝祖(Béout,17779)之后又有英國的J.J.西爾維斯特(Sylvester,184

  0)和A.凱萊(Cay-ley,1852)等人應用近代方法對消去法進行了較全面的研究.

  2.高階等差級數求和

  在中國古代,自宋代起便有了關于高階等差級數求和問題的研究.在沈括(1031—1095)和楊輝的著作.(1261

  —1275)中,都有各種垛積問題,這些垛積問題有一些就是高階等差級數問題.另外,在歷法計算過程中,特別是

  在計算太陽在黃道上的精確位置時,要用到內插法.在宋代歷法中,已經考慮并用到三次差的內插法.這也是一種高階等差級數的求和問題.

  朱世杰在《四元玉鑒》中又把這一問題的研究進一步深化.

  據研究,朱世杰已經掌握了如下一串三角垛的公式,即

  茭草垛

  三角垛

  撒星形垛

  三角撒星形垛

  (又稱“撒星更落一形垛”)

  三角撒星更落一形垛從中不難看出前垛的求和結果恰好是后垛的一般項,即前垛的各層累計的和剛好是后垛中的一層,因此朱世杰常把后一種垛積稱為前一垛積的“落一形垛”.這串公式可用一個公式來表達,即當p=1,2,3,4,5時.(A)式就是上述五個公式.

  除(A)式之外,朱世杰還已掌握了當P=1時稱為四角垛,即當P=2時稱為嵐峰形垛,即當P=3時稱為三角嵐峰形垛,即當然,《四元玉鑒》中也還有一些其他類型的垛積問題.

  由于朱世杰已經掌握了公式(A),掌握了一串三角垛公式,這使他有可能超越前人,提出高次招插法公式,從

  而有可能解決任何一類高階等差級數的求和問題.《四元玉鑒》“如象招數”門最后一問中提出了一個需用四次差(即四次差相等,五次差等于0)的招差問題.如以現代符號記述,以△1,△2,△3,△4表示一差、二差、三差和四差,朱世杰相當于給出了招插公式:

  這是一個有關計算招兵人數的問題.朱世杰的解法是“求兵者:今招為上積,又今招減一為茭草底子積為二積

  ,又今招減二為三角底子積為三積,又今招減三為三角落一積為下積,以各差乘各積,四位并之,即招兵數也”,所描述的剛好就是上述公式.因為朱世杰指出了上述公式各項的系數,剛好依次是一串三角垛的“積”,從這一點出發不難推斷朱世杰是可

  以將其推廣至任意高次的高階等差級數和招差問題上去的.在西方,是J.格雷戈里(Gregory,1638—1675)最先對招插法進行了研究,直到牛頓的著作(1676,1678)中才

  出現了關于招插術的一般公式.當然牛頓的公式采取了近代數學的形式,而且用途廣泛,但朱世杰的首創之功也是不可泯滅的.

  朱世杰在數學方面的貢獻并不局限于上述兩點,例如《算學啟蒙》中所列各種歌訣、口訣(包括除法口訣)均已

  十分齊備,這為計算工具由籌算到珠算的過渡創造了條件.但四元術和高階等差級數求和問題兩方面的成就,仍顯得十分突出,由于這兩方面成就的出現,使得高度發展了的宋元時期的中國數學,更放異彩.

  清代數學家王鑒說,朱世杰“兼秦(九韶)、李(冶)之所長”,羅士琳也說他是“尤超越乎秦、李之上”.清代

  末年還有人評論說“中法以《四元玉鑒》為詣極之書”.20世紀美國著名的科學史家G.薩頓(Sarton,1884—1956)評價朱世杰是“漢民族的,他所生存的時代的,同時也是貫穿古今的一位最杰出的數學家”,說《四元玉鑒》“是中國數學著作中最重要的一部,同時也是中世紀最杰出的數學著作之一”.如此之高的評價,朱世杰和他的著作都是當之無愧的.

  朱世杰

  “燕山朱松庭先生”,是我國元朝時代的一位杰出的數學家。所寫的《四元玉鑒》和《算學啟蒙》,是我國古

  代數學發展進程中的一個重要的里程碑,是我國古代數學的一份寶貴的遺產。

  朱世杰的青少年時代,正相當于蒙古軍滅金之后。但在滅金之前,中都(即今之北京)便于1215年被成吉思汗

  攻占。

  元世祖忽必烈繼汗位之后,于1264年(至1266年)為便于統治中原地區的人民,遷都燕京(后改稱大都,亦即

  今之北京)到了13世紀60年代燕京不只是全國的政治中心,而且也是當時全國重要的文化中心,特別是北方的一個文化中心。

  忽必烈為了元朝的統治,曾網羅了一大批漢族的知識分子充作智囊團。其中就著名的有王恂(1235—1281)、

  郭守敬(1231—1279)、李冶(1192—1279)等人,這個智囊團中的人物,對數學和歷法都很精通,他們未入朝前曾隱于河北省南部武安紫金山中。

  13世紀中葉,在現在的河北省的南部地區和山西省的南部地區,出現了一個以天元術為其代表的數學研究中心

  。除上述武安的紫金山和李冶元氏封龍山外,山西臨汾的蔣周,河北蠡縣的李文一,河北獲鹿的石信道等人都在研究天元術。朱世杰也繼承了北方數學的主要成就——天元術,并將其由二元、三元推廣至四元方程組的解法。

  朱世杰除了接受北方的數學成就之外,他也吸收了南方的數學成就,尤其是各種日用算法、商用算術和通俗化的歌訣等等。

  在元滅南宋以前,南北之間的交往,特別是學術上的交往幾乎是斷絕的。南方的數學家對北方的天元術毫無所知,而北方的數學家也很少受到南方的影響。朱世杰曾“周游四方”,莫若(古代數學家)序中有“燕山松庭朱先生以數學名家周游湖海二十余年矣。四方之來學者日眾,先生遂發明《九章》之妙,以淑后圖學,為書三卷……名曰《四元玉鑒》”,祖頤后序中亦有“漢卿名世杰,松庭其自號也。周流四方,復游廣陵,踵門而學者云集”。經過長期的游學、講學等活動,終于在1299年和1303年,在揚州,刊刻了他的兩部數學杰作——《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。楊輝書中的歸除歌訣在朱世杰所著《算學啟蒙》中有了進一步的發展。

  清羅士琳認為:“漢卿在宋元間,與秦道古(即秦九韶)、李仁卿可稱鼎足而三。道古正負開方,漢卿天元如積皆足上下千古,漢卿又兼包眾有,充類盡量,神而明之,尤超越乎秦、李之上”。清代數學家王鑒也說:“朱松庭先生兼秦、李之所長,成一家之著作”。朱世杰全面繼承了并創造性地發揚了天元術、正負開方法等秦、李書中所載的數學成就之外,還囊括了楊輝書中的日用、商用、歸除歌訣之類與當時社會生活密切相關的各種算法,并作了新的發展。

  由此看來,在朱世杰的工作中,不僅有高次方程的解法,天元術等為代表的北方數學的成就,也包括了楊輝工作中所體現出來的日用,商用算法以及各種歌訣等南方數學的成就,不僅繼承了中國古代數學的光輝遺產,而且又作了創作性的發展。朱世杰的工作,在一定意義上講,可以看作是宋元數學的代表,可以看作是古代籌算系統發展的頂峰。就連西方資產階級學者們也不能否認這一點,喬治·薩頓說:朱世杰“是漢族的,他所生存的時代的,同時也是貫穿古今的一位最杰出的數學家”,說《四元玉鑒》“是中國數學著作中最重要的一部,同時也是中世紀最杰出的數學著作之一”。朱世杰以他自己的杰出著作,把中國古代數學推向更高的境界,為中國古代數學的光輝史冊,增加了新的篇章,形成了宋代中國數學發展的最高峰。

  朱世杰朱世杰字漢卿,號松庭,元朝人,籍貫燕山(今北京附近)。他長期從事數學研究和教育事業,以數學名家周

  游湖海二十多年,四方登門來學習的人很多。

  朱世杰全面繼承了秦九韶(約公元1202-1261年,他的主要著作是《數書九章》)、李冶(公元1192-1279年,主要著作是《測圓海鏡》和《益古演段》。)、楊輝(著有《詳解九章算法》十二卷《日用算法》二卷、《乘除通變算寶》三卷、《田畝比類乘除捷法》二卷、《續古摘奇算法》二卷等)三人的數學成就和各種實用算法,而且創造性地予以發展,寫出《算學啟蒙》三卷、《四元玉鑒》三卷等著名著作,把我國古代數學推向更高的境界,形成宋、元時期中國數學的最高峰。

  《算學啟蒙》是朱世杰在元成宗大德三年(公元1299年)刊印的,全書分三卷,二十門,總計二百五十九個問題和相應的解答。自乘除運算起,一直講到當時數學發展的最高成就“天元術”,全面介紹了當時數學所包含的各方面內容。它的體系完整,內容深入淺出,通俗易懂,是一部很著名的啟蒙讀物。這部著作后來流傳到了朝鮮、日本等國,出版過翻刻本和注釋本,產生過一定的影響!端脑耔b》更是一部成就輝煌的數學名著。它受到近代數學史研究者的高度評價,認為是中國數學著作中最

  重要的一部,同時也是中世紀最杰出的數學著作之一!端脑耔b》成書于大德七年(公元1303年),共三卷,二十四門,二百八十八問,介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法棗“四元術”、高階等差級數的計算棗“垛積術”以及“招差術”(有限差分)等方面的研究成果。

  秦、李、楊、朱的數學著作內容廣泛而艱深,象高次方程的數值解法、天元術、四元術、大衍求一術、垛積術和招差術等,都是具有世界意義的學術成就,分別比歐洲要早出現四百年到八百年,在當時世界上居于遙遙領先的地位。這一豐富多彩的輝煌時期在我國數學史上也是罕見的。

  朱世杰的“四元術”是在高次方程的數值解法以及“天元術”的基礎上發展起來的。當未知數不止一個的時候,除設未知數天元(χ)外,還需要增設地元(y)、人元(z)乃至物元(u),再列寫出二元、三元甚至四元的

  高次聯立方程組,然后求解。這就是朱世杰在他的著作中所介紹的“四元術”。朱世杰不僅提出了多元(最多到四元)高次聯立方程組的算籌擺置記述方法,而且把《九章算術》等書中四元一次聯立方程解法推廣到四元高次聯立方程,在歐洲,解聯立一次方程開始于十六世紀,關于多元高次聯立方程的研究還是十八、十九世紀的事。

  朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術”上,指出招差公式中的各項系數恰好依次是各三角垛的積,這樣就得到了包含有四次差的招差公式,并且可以推廣為包含任意高次差的招差公式,這在世界數學史上是第一次,比歐洲牛頓的同樣成就要早近四個世紀。除了“四元消法”和“垛積招差”以外,朱世杰在他的著作中還提出了許多值得注意的內容:在中國數學史上,朱世杰第一次正式提出了正負數乘法的正確法則。他對球體表面積的計算問題作了探討,這是我國古代數學典籍中唯一的一次討論。雖然結論不很正確,但是他的創新精神是可貴的。在《算學啟蒙》中,朱世杰記載了完整的“九歸除法”口訣,和現在流傳的珠算歸除口訣幾乎完全一致。

  總之,朱世杰繼承和發展了前人的數學成就,為推進我國古代數學的發展做出了不可磨滅的重要貢獻。由于朱世杰和其他同時代數學家的共同努力,使宋、元時期的數學水平達到光輝的高度,在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我國乃至世界數學史上負有盛名的數學家。

  《算學啟蒙》

  中國元代數學家朱世杰撰,元大德三年(1299)刻于揚州,此刊已不存。

  本書包括了從乘除法運算及其捷算法到開方、天元術、方程術等當時數學各方面的內容,由淺入深,形成了一

  個較完整的體系。正文前,列出了九九歌訣、歸除歌訣、斤兩化零歌、籌算識位制度、大小數進位法、度量衡制度、圓周諸率、正負數加減乘法法則、開方法則等18條作為總括,作為全書的預備知識,其中正負數乘法法則不僅在中國數學著作中,在世界上也是首次出現。許多歌訣比楊輝的更加完整準確,有的已與現代珠算口訣幾乎完全一致。這是中國數學著作中第一次出現的與現今一致的口訣。本書的正文分3卷,20門,259問。卷上8門,113問,包括各種乘除捷算法和歌訣的應用題,以及各種比例算法。

  許多問題反映了元代的社會經濟情況。卷中7門,71問,是面積、體積及各種算術問題。卷下5門,75問,是關于分數運算、垛積(即高階等差級數求和)、盈不足術、線性方程組解法、天元術及增乘開方法等問題。還處理了開方過程中系數變號的問題。

  《算學啟蒙》是一部很好的數學教材,它把當時的初級和中級數學知識從乘除口訣開始,包括面積、體積、比

  例、開方、高次方程、天元術等,有例題,有方法,分門別類,由淺入深,循序漸進,自成系統,確是一部很好的數學啟蒙讀物。此書曾傳至朝鮮、日本,朝鮮有李朝世宗十五年(1433)的慶州府刻本,清順治十七年(1660)金州府尹金始振翻刻。清羅士琳諸人聞此書,遂請人于北京尋獲金刻本,道光十九年(1839)由阮元作序,在揚州刊刻,后來諸版皆依此。

算學啟蒙總括 目錄

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